DARI RADIKAL RING KE RADIKAL MODUL (FROM RADICAL OF RINGS TO RADICAL OF MODULES)

Abstract

Radikal dalam teori ring pertama kali dibahas oleh Amitsur [2] dan Kurosh [7] hingga sampai saat ini berkembang dalam teori modul. Pada paper ini akan dibahas kelas radikal dalam teori ring termasuk konstruksi dua jenis radikal yaitu radikal atas (upperradicals) dan radikal bawah (lowerradicals) dan selanjutnya dibahas radikal dari modul. Kedua contoh konstruksi radikal ini yang banyak dikembangkan. Ada beberapa cara dalam mengkonstruksi radikal bawah, dalam paper ini digunakan konstruksi berdasarkan konstruksi radikal yang dikenalkan oleh Tangeman dan Kreiling [11]. Salah satu contoh dari konstruksi radikal bawah adalah konstruksi radikal bawah dari kelas yang merupakan kelas ring nilpoten. Kelas radikal ini disebut juga dengan istilah Baer Radical atau prime radical (radikal prima), sedangkan contoh dari radikal atas adalah radikal atas dari kelas semua ring sederhana dengan unit yang dikenal dengan istilah Brown-McCoy radical class. Perhatikan bahwa eksistensi ring prima dalam teori ring telah memotivasi adanya modul prima. Secara alami, adanya radikal prima dalam teori ring juga memotivasi adanya radikal prima dalam teori modul. Selain itu radikal prima dari suatu modul memotivasi munculnya istilah modul yang memenuhi formula radikal Saracdan Tiras [10].