Nilai Ketakteraturan Jarak dari Graf Friendship dan Graf Matahari

Abstract

$G$ adalah suatu graf dengan himpunan vertex $V(G)$ dan himpunan edge $E(G)$. Jarak $(distance)$ dari vertex $u$ ke $v$ di $G$, didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek dari $u$ ke $v$. Pelabelan jarak titik tak teratur pada graf $G$ dengan simpul $v$ dimana $V\rightarrow \{1,2,\ldots , k\}$ sehingga bobot yang dihitung pada simpul selalu berbeda. Ketakteraturan jarak $G$ dinotasikan sebagai $dis$ $(G)$, adalah nilai minimum dari label terbesar $k$ dari semua ketakteraturan. Bobot dari titik $x$ di $G$ didefinisikan sebagai jarak dari label semua simpul yang berdekatan dengan $x$ (jarak 1 dari $x$), yaitu $$wt(x)=\sum _{y\epsilon N (x)} \lambda (y)$$ Graf friendship dinotasikan dengan $f_n$, yang didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan menggabungkan graf $C_3$ dimana $C_3\geq 3$ dengan satu simpul bersama. Nilai $distance$ dari graf friendship adalah $dis(f_n)=2n$. Graf matahari dinotasikan dengan $S_n$ adalah sebuah graf yang dibentuk dari graf siklus dengan $n$ titik pada siklus $C_n$ yang pada setiap titiknya terdapat bandul, sedemikian hingga jika $u_j$ adalah sisi ke-$j$ dari $C_n$ dan $v_j$ adalah titik pada bandul ke-$j$, maka $u_jv_j$ adalah titik ke-$j$ untuk setiap $j=1,2,...,n$. Nilai $distance$ dari graf matahari adalah $dis(S_n)=n$.